tn198403s 高校時代blog

「人生に無意味な時間は無い。ただ、その時間の意味を感じることなく生きているだけである。」この言葉を確かめてみようと、徒然なるまま、私の高校時代(1984.03卒業)の意味を振り返り綴るブログです。

授業36.2024年度共通テストを少しやってみた(3)数Ⅰ編

2024年度共通テストの平均点が報道されました。それで思い出しました。

ああ、数Ⅰ編をまだアップしてなかったな。

 

放置しても誰からもお咎めは無いだろうけれど、毎年少しだけでも解いてきた自分に申し訳ない気がするので、遅ればせながらアップします。

 

解いたのは数Ⅰの第1問のみ。小問として、[1]不等式(回答欄ア~サ)と、[2]集合(同シ~ノ)があり、配点は20点です。

第1問[1]不等式

ア部分

第1問 ア部分

nは整数です。√13は、√9<√13<√16なので、3<√13<4です。

ここで問題になるのは、√13が3.5以上かどうかです。それによって

6<2√13<7 (n=6)なのか、7<2√13<8 (n=7)なのかが変わります。

 

そこで3.5を2乗してみます。

    3.5
  X3.5
 ------
  17 5
105
------
12.25

このことから、√12.25=3.5 なので、√13 は3.5より大きいとわかります。

従って、n=7

ア=7

 

イウ部分

イウ部分

アは7より、a=2√13-7 となり

b=1/a

  =1/(2√13-7)

です。これを変形します。ルートが含まれている分母の整数化には(a-b)(a+b)=a^2-b^2が使えるので、

b/(2√13+7)=1/(2√13-7)(2√13+7)
b/(2√13+7)=1/(2√13)^2-49
b/(2√13+7)=1/4X13-49
b/(2√13+7)=1/52-49
b/(2√13+7)=1/3
b=(7+2√13)/3

となり、

イ=7、ウ=3

 

エオカ部分

エオカ部分

a^2-9b^2=(2√13-7)^2-9((7+2√13)/3)^2 で計算できますが、

ここは、a^2-9b^2=(a+3b)(a-3b)を利用したいです、

 

a=2√13-7 なのに対して、先のイ、ウで、b=(7+2√13)/3と答えさせたのは、気づきにくくする意図があったのでしょうか。aの無理数と実数の並びに合わせて、b=(2√13+7)/3とします。

そうすると、3b=7+2√13 なので、(a+3b)(a-3b)にそれぞれ代入すると、

a^2-9b^2=(2√13-7+7+2√13)(2√13-7-7-2√13)

a^2-9b^2=(4√13)×(-14)

a^2-9b^2=-56√13

となり、

エ=- オ=5 カ=6

 

キク部分

キク部分

ここで、①を変形した式が登場。⑤は、7/2<a<8/2 と同じ。

ウ=3、b=(2√13+7)/3 でした。

ここでは、m/3< (2√13+7)/3 < (m+1)/3 で整数 m を問うているわけです。

これは、m< (2√13+7) < (m+1) と同じ。 

①の式で、7<2√13<8 と分かっているので、

7+7<2√13+7<8+7 となり、 

14/3<b<15/3 です。

m=14

キ=1、ク=4

 

ケ、コ、サ部分

ケコサ部分

要するに、√13 を小数の近似値にして、小数第2位までの数字を出す問題です。

ここで、アを回答する方法が、本筋と違っていたのだろうなと思いました。でも、すでに3.5の2乗が12.25であると分かっています。36の2乗は1225+35+36で1296となり、3.6×3.6=12.96 です。恐らく、√13を小数の近似値にした場合、整数は3です。小数第1位は6でしょうし、小数第2位はおそらく0でしょう。それでも、念のため3.61の2乗を計算。

3.61×3.61=13.0321

13を超えてしまいました。これで確定です。小数にすると、3.60…となります。

 

ケ=3 コ=6 サ=0

 

本当は、⑥の式を変形して答える問題でしょうけど、もう、これでいいです。

 

第1問[2]集合

シスセ部分

シスセ部分

全体集合Uは[2,3,4,5,6,7,8,9]で要素は8個です。

a=4 だと、Aは[4,8]、b=5だとBは[5]。

数字の並びに注意して

A∪B=[4,5,8](AとBを合わせた部分)

シ=4、ス=5,セ=8

 

ソタチ部分

ソタチ部分

a=2 だと、Aは[2,4,6,8]、

b=3 だとBは[3,6,9]B補集合は[2,4,5,7,8]です。

A∩B補集合[2,4,8](AとB補集合が重なる部分)

 

ソ=2、タ=4、チ=8

 

※ただし、回答欄にチ=9としていて、痛恨の入力ミス。

 

ツテ部分

ツテ部分

a=2 だと、Aは[2,4,6,8]、b=3 だとBは[3,6,9]

A∪Bは[2,3,4、6,8,9]で、残りは5と7です

A∪B=C補集合∩D補集合で、5と7を含まないとなると

c=5、d=7 であり、

ツ=5、テ=7

 

トナニヌ部分

トナニヌ部分

A∪B∪C∪D=[2,3,4,5,6,7,8,9]になるのは、先述のことを組み合わせて、a=2、b=3、c=5、d=7 となり、

ト=2、ナ=3、ニ=5、ヌ=7

 

ネノ部分

ネノ部分

この問題では、私が[2,6,8]⊂ A∪B∪C の「⊂」の意味を取り違えていたのが明らかになりました。「=」と「⊂」の区別をしていなかったのです。

 

[2,6,8]⊂ A∪B∪C を、AとBとCの要素を全て集めたものが[2,6,8]だと誤解したのです。=と同じに考えました。

 

a=2だと[2,4,6,8]ですから、4を取り除く条件が必要として、必要条件だが十分条件ではないとして、ネ=0としました。

 

b=6 だと[2,6,8]に必要なようですが、6は3の倍数でもあるため、必ず必要とはなりません。またb=6では[2,8]の条件を補えません。そのためノ=4としました。

 

結果とおまけ

採点結果

答え合わせをした結果、入力ミスのチ(-2点)と問題文の勘違いネ(-1点)で誤答。

20点満点中17点でした。

でも、ノは問題を理解できていないのに、たまたま正解になったというだけです。

 

過去の共通テストの記事を振り返りました。

2023年度は数Ⅰ第1問に挑戦し、20点中20点でした。

2022年度は数Ⅰ第1問に挑戦し、30点満点中、16点でした。

2021年度は、数Ⅰで気になったところだけを解いて、採点はしていません。

 

点が取れると嬉しいというのはありますが、それ以上に問題を解けたことや、思い出せたこと、学習になったことの方が収穫という感じです。毎度の繰り返しになりますが、現役受験生だった頃の自分には、よくこうした問題を時間内に解けたなと感心してしまいます。

 

おまけ 集合の記号の打ち込み方

ところで、回答はするのには、Windowsの標準のソフト(アプリ)のメモ帳に記入する形です。こんな感じ。

回答はメモ帳で作成

手書きにしない理由は、2つ。

1)パソコンを常用しているため筆記用具を出すのが面倒。加えて保存場所がはっきりしているので、探す手間もいらず、過去の問題とも比較できること。

2)特に数学の記号や打ち込み方の学習にもなる。

記号で言えば、√(るーと)、∪(カップ)、∩(キャップ)等があり、

2乗を表すのに^2と表記することなども検索して知りました。

 

今回の収穫は集合関連の記号の打ち込み方。

知っている方も多いと思いますが…

習合関連の記号の打ち込み方

「しゅうごう」と打ち込んで変換キーを複数回押した際に変換候補の一覧が出てきます。その縦に細長い一覧の右下隅に□に→のついたマークがあります。それをクリックすると、さらに集合に関する記号の一覧が出てくるので、必要なものをクリックするとOK。∩ や ∪ も選択できると知りました。今回、⊂はこの方法で打ち込みました。

タイトル画像