tn198403s 高校時代blog

「人生に無意味な時間は無い。ただ、その時間の意味を感じることなく生きているだけである。」この言葉を確かめてみようと、徒然なるまま、私の高校時代(1984.03卒業)の意味を振り返り綴るブログです。

tn50.はてなブログで表示できる画素数の考察と1000までの素数表

【注意】この記事には画素数も容量も大きい画像が複数枚あります。端末の環境によっては開くまで時間がかかるかも知れません。ご了承ください。

 

3600×2965ピクセルpng画像を投稿してみた

前回の記事の通り、1000までの素数表は完成しています。

それを画像にしてブログに表示したいと思いました。ただ、画素数が3600×2965ピクセルとかなり大きな画像になったため、マス内の数字が見えるよう表示するのに思いの外、苦労しました。(きっと私の無知が原因)

 

そこで素数表より先に、「はてなブログで表示できる画素数」について書きます。素数表より参考になることが多いと思います。ただし、あくまで私見ですので参考程度に考えてください。なお、使用したのはpng画像です。

 

 

はてなブログで表示できる画像の大きさ

はてなブログに表示できる最大画像

試行錯誤の結果、はてなブログで表示できる画像サイズは、長い辺が最大1200ピクセルまでのようです。それより大きい画像は縦横の長い方が1200まで縮小され、縦横比を維持したまま短い方も縮小されるようです。

 

今回、1000までの素数表を完成させるまでの12の表を一枚に収めた画像は3600×2965ピクセルになりました。形式はpng、容量が683KB。これをそのままアップしたのが下の画像です。 

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表(1)1000までの素数表を完成させるまでの12の表

画像にカーソルを合わせて右クリック→「新しいタブで画像を開く」を選択すると画像だけが新しいタブに表示されます。(使用ブラウザは chorome )それをダウンロードして画像サイズを確かめると、1200x988ピクセルになっていました。容量は636KBでした。

 

元画像が3600×2965ピクセルでしたから、1/3まで縮小されると、数字を読むのは難しいです。そこで、縮小されても数字が読み取れるくらいまで、画像を分割することにしました。ただ一覧にすると、色を付けた箇所の減少や軌跡はよくわかります。

 

画像を分割する方法

1000までの素数表は、1行に10ずつで縦列が100マスです。まずエクセルで、数字が何とか見える程度まで小さく調整しました。次に12ある表を4つずつで3枚の画像にし、さらに1枚を上下に分けました。合計6枚の画像になります。 

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12の表画像を6分割

この時点、1枚の画像は1200x1500になりました。投稿すると縦1500が縦1200の画像になるので縮小率は80%。何とか数字も読めそうです。結果は張り付けた画像の上で、右クリック→「新しいタブで画像を開く」等で確かめてみてください。

 

1000までの素数

素数表の作り方

1000まで書いた表(横10、縦100)を作り、順に、1と偶数、5の倍数、3の倍数、7の倍数…31の倍数まで色分けして埋めていきます。こうしてやると、素数のマスは最後まで色がつかないまま残ります。

  

すでに埋めた部分は薄青にしました。それぞれの表では、既に埋まっていても、倍数の流れが見やすいように別色で示しました。新しく埋まった数字は赤枠の数字です。

 

1、偶数の列、5の列、3の倍数、7の倍数を消した表(上・下)

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1は別として偶数列を色分けすると、きれいな縦縞で並びます。

 

5の倍数については本来は10の縦列もピンクにするところですが、5の列が隙間にピッタリ入るのがわかるよう、5の縦列のみ色を付けました。

 

3の倍数は、黄色マスが左斜め下に下がっていく模様が浮かびます。これは、下に1マス(10増)、左に1マス(1減)で結局9増えたことになるからです。九九の3の段の増え方を意識すると、右に3マス(3増)移動するだけです。また、右斜め下に桂馬跳びしていく模様も見て取れます。新しく消す赤枠は、1、3、7,9の列で規則正しく現れます。

 

7の倍数は、右斜め下に桂馬跳びしていく模様がくっきり浮かびます。3の倍数と同様なのは、3×7が21なので、下に2マス(20)増え、さらに左に1マス(1)増えるからです。また、7増えると、下に1マス(10増)、左に3マス(3減)ことになるので、そこに注目すると緩やかな左斜め下に移動しているようにも見えます。

ちなみに91(7×13)を消した時点で、100までの素数表は完成です。

 

11の倍数、13の倍数、17の倍数、19の倍数を消した表(上・下)

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11の倍数の足跡は右斜め下へきれいに並びます。下に1マス(10増)した上、右に1マス(1増)なので、当たり前と言えば当たり前です。おかげで足跡がわかりやすく、色を付けていくのが簡単。

13の倍数は緩やかに右斜め下に並ぶ軌跡を描きます。でも、もうポツポツとしか跡が残りません。新しく消える赤枠は16個です。

13×(13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73)< 1000

(※ 73の次の素数、79をかけると1000を超えてしまう)
となります。赤枠マスが急に少なく感じられてきます。

13は倍数の足跡を間違えやすく、確かめの計算が大変になってくる上、消せるマスもぐんと減るため、モチベーションを持続するのが難しくなってきます。高校時代は、この途中で断念しました。

 

17の倍数も、見通しが持てないとモチベーション維持が難しいです。倍数の足跡は下に2マス(20増)左に3マス(3減)ですが、それに頼ってうっかり間違えると、次々間違えてしまい、修正が大変になります。

 

19の倍数は、作業が簡単。下に2マス(10増)、左に1マス(1減)となるので、足跡は左斜め下への桂馬跳び。

新たに消す赤枠は19×(19,23,29,31,37,41,43,47, )の8個です。

 

残る計算は、23,29,31の倍数だけ。ここを超えると、31×31(961)が最後だとわかっていたので、急に先が明るくなった気がしました。

 

23の倍数、27の倍数、31の倍数を消した表と完成した表(上・下)

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23の倍数は下に2マス、右に3マスと足跡がちょっと辿りにくいです。でも、足跡のほとんどは既に消されていて、新しく消す赤枠は23×(23,29,31,37,41,43)の6マスのみ。長かった作業も残りわずかとなります。

 

29の倍数は足跡が下に3マス、左に1マスの移動で比較的見やすく、作業も順調に進みます。新しく消す赤枠は29×(29,31)の2マスのみ。

 

31の倍数の足跡は29と左右対称で下に3マス、左に1マスです。足取りも軽く、とんとんとん…。そして最後の赤枠961(31×31)に到達。おまけ気分で、既に薄青の992に色を付けて1000までの素数が確定しました。

 

表を見やすくするため、31の倍数を薄青にして作業終了。完成しました。

 

1000までの素数表で知りたかったこともまとめておきます。

  • 1000までの素数表には168個の素数がありました。(意外に多い)
    1~100(素数が25個)、101~200(21個)、
    201~300(16個)、301~400(16個)、
    401~500(17個)、501~600(14個)、
    601~700(16個)、701~800(14個)、
    801~900(15個)、901~1000(14個)、
  • 横の行に素数が0個 7カ所 
    (201~210、321~330、511~520、
    531~540、621~630、841~850,891~900)
  • 連続して素数が出ないのは888~906までの19回
  • 横の行に4個の素数が出る 2つ (101~110、821~830)

 

あとがき

1000までの素数表の使い道ってあまり思いつきません。実際55年の人生でも作ろうとしたのは2度だけです。しかも、1回目の高校時代は途中放棄しています。

 

でも、使い道があまりなくてもいいのです。1000までの素数表は、使い道より、辿る道に価値がありそうです。人生には、何かに役立つお得感より、何かを成し遂げた達成感が嬉しい時もあります。爽やかな疲労感も悪くはありません。

 

遊び41.1000までの素数表作り ~素っ気ない数と素敵な数(2)~

 1000までの素数表を作る手順の続きです。

前回の手順1~5を書いた記事はこちら。 

数字にまつわる話題が続いていますが、もう少しお付き合いください。

 

 

素数表を作る手順6、7

手順6 11を除き、11の倍数を消していく

手順7 13を除き、13の倍数を消していく

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経過の表(5)11の倍数を消す     経過の表(6)13の倍数を消す

手順6 11は残して、11の倍数を消していく

経過の表(5)は、11の倍数をオレンジで消していくと、斜め45度の下り線を描くのがくっきり見えます。111の行にはオレンジがなく、121から再出現します。計算いらずで作業も捗ります。1000までに11の倍数として新たにマスを消せるのは全部で20個です。

 

なお、100までの素数表を作る場合は、11の倍数を考える必要はありません。7までの倍数を確かめた時点で完成します。

 

手順7 13は残して、13の倍数を消していく

 経過の表(6)の消すマスに規則性はあるものの、数字が大きくなってきた分、隙間も広がって、模様がわかりづらいです。計算機で確かめながらマスに色付け。169(13×13)以降に、新たに消えるマスが増えていきます。ちなみに、1000までに消せる数字は16個になります。

 

手順8の前に気になったこと

手順8は次の素数17の倍数を確かめることですが、それよりも気になることがありました。11の倍数を埋め、さらに13の倍数を埋めた1000付近の表がこれです。

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11の倍数、13の倍数を埋めた1000付近の表

上の表では11の倍数として新たに埋められた最後は979(11×89)。13の倍数として新たに埋められ最後は949(13×73)。作業がこの辺まで進むと、ぽつ、ぽつとしか消えてくれません。モチベーションも下がります。

 

1000までの素数表を作るのに、いくつまでの数字を消す作業が必要なのでしょう。言い換えるなら、最後に消す数字は何でしょう。1000までの素数表を完成させる見通しを確かめたくなりました。

 

1000マスの内、最後に消す数字は何か?

最後に消す数字の手がかり

「経過の表(5)11の倍数を消す 」でも「経過の表(6)13の倍数を消す」でも、新たに数字を消したのは、素数の2乗以降です。また、素数表づくり自体が、大きな素数により大きな素数をかけた答えを消す作業になっています。

 

ある素数の2乗が1000を超えない最大の素数は何か?

まず、ここから考えてみました。

 

素数の2乗で1000を超えない範囲で最大の数は…と探すと、途中までできている素数表に「31」を見つけました。何となくこれが一番近そうです。

31×31=961

かなり1000に近いですが、961より31多い(つまり31の32倍)992の方がより1000に近いです。ただ、偶数なので、すでに消えています。とは言え、直感的に961より大きくて、これ以降に消える数はありそうに思えました。

 

もっと1000に近くてこの先に消える数

待てよ?31より小さい素数「29」や「23」、またはそれに近い素数同士の乗算で、もっと1000に近い数を見つけられないかと考えました。

と、その時。

「あ。同じことを高校時代にも考えたっけ。」

と思い出しました。ただ、答えが出せたのかどうか、答えが何だったのかの記憶はありません。でも、29×31、23×41等はすぐ思いつきました。その辺りの素数であれこれ掛け算をします。

29×31=899、29×37=1073

23×41=943、23×43=989、23×47=1081

19×47=893、19×51=969、19×53=1007

この先で消える1000に一番近い数は23×43=989になりそう。

そして作業の手順からして、最後に消す数字は961だろうと考えました。

31の2乗まで消せば、1000までの素数表は完成するはずだと予測したのです。

 

これで見通しが持てました。でも、もっと具体的な見通しが欲しくなりました。

 

あといくつ消せば1000までの素数表が完成するか

ここまでの作業でようやく、ある素数の2乗を消した後は、その素数より大きな素数をかけた数を消すという法則に気づきました。気づくのが遅いぞと自分で突っ込みを入れます。

  

そうすると、13以降の素数は、17、19、23、29、31、…と続きますから、その組み合わせでかけ算をし、答えが1000を超えないものを消すことになります。

17の倍数だと、17,19,23,29,31,37,41,43,47,53 の10個

19の倍数だと、19,23,29,31,37,41,43,47 の8個

23の倍数だと、23,29,31,37,41,43 の6個

29の倍数だと、29,31 の2個

31の倍数だと、31 だけの1個。

ということで、あと27個の数字を消せば完成です。

あと少しです。

 

そもそも、先輩に教わった素数表の作り方は100までのものです。すらすらすらと暗算で埋められたのも当たり前。それを1000までの素数作りにも、そのまま使えるだろうと気軽に始めてしまったのが苦労した原因だったのでしょう。

 

高校時代の自分を超えたのか?

蘇った記憶

実はここにきて、高校時代に1000までの素数表作りを途中で放棄したのを思い出しました。それも結構早い段階での話です。

 

1000までの素数表づくりのきっかけだった「1000までの内、素数でない数字が10個以上続くことがあるか?」の答えを、201~210の行に見つけて(もう、ここまででいいんじゃない?)と一気にモチベーションが下がってしまったのです。

 

途端に13の倍数を消す作業がとても面倒に思われ、31の2乗まで消さないと、1000までの素数表は完成しないと知ったとき、「これはさすがに大変そうだから、もうやめよう」と断念したように思います。あと何個消せばいいのかと考えるには至らず、見通しが持てなかったのでしょう。

 

せっかく作った表でしたが、いろんな印が混ざり合った上、書き直しも度々で、とても見づらい表になっていました。結局くしゃくしゃに丸めてしまった気がします。

 

1000までの素数表は完成

今回は、その後も踏ん張って、自力で1000までの素数表を完成させました。40年近くかかって作成したことになります。素数表と作る過程の詳細は別記事にする予定です。

 

昔あきらめたことが今回できたからと言って、高校時代の自分を超えたという気はしません。

もし、あの時と同じ装備?で作業をしたなら、やり通せた気がしません。逆に、あの時今と同じ装備があったなら、きっとやり通せた気もします。さらに、ネットの普及した今なら1000までの素数表を呼び出すのもあっという間で、答え合わせをして、確かめることも簡単。そんな思いが背中を押してくれた気もします。

 

でも、記憶の奥に沈んでいた記憶が蘇り、再挑戦して完成できたことは、素直に嬉しいです。あの時の悔しい経験が無かったら、55歳にもなって挑戦しなかったと思います。1000までの数の内、素数の倍数を一つ一つクリックして消す作業にどれだけの意味があるのかと投げ出していたでしょう。

 

素数のイメージが記憶とリンクする

前回の記事で書いた私の素数のイメージ、

出てくるまでは、他との繋がり(倍数や約数)のない素っ気ない数。けれど、出てきた瞬間、次の素数を探す重要な手掛かりになる素敵な数。

そのままに、素数の記憶がリンクしました。

思い出すまでは素っ気ない素数の記憶。でも、思い出した瞬間、素数を探す重要な手掛かりになる素敵な素数の記憶。

そんな感じ。

  

前回、

何だか人生訓染みています。自分の人生に必要ものに気づくためには、自分の人生を歩む中で手に入れたものが糧になる…みたいな…。え?私の思い過ごしですか?

と記事に書きましたが、どうやら思い過ごしでも無さようです。

 昔の自分に背中を押してもらった、そんな感じがします。

 

遊び40.何の数字表でしょう? ~素っ気ない数と素敵な数(1)~

何の表?

問題1.表(1)は何の表でしょう?

ヒントは無しで。

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表(1) 何の表?

答え 10までのかけ算九九表

 ※ぼかし字にカーソルを持っていくと鮮明になります。(以下同じ)

これは、すぐにわかった人も多いのではないでしょうか。小学2年生の算数で一番の課題と言える九九。100マス計算として、うんざりしながら、喜々として解きまくった記憶がある人もたくさんいそうです。

問題2. 表(2)は何の表?

これもヒントは無しで。

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 表(2) 何の表?

答え 1~100までを並べた100マス表

これも、多くの人が答えられたと思います。こちらは小学1年生で、100までの数として学習します。そして、横行(横向きには一の位が1ずつ増えていく)と縦列(縦向きには十の位が1ずつ増えていく)の法則を当たり前に思う人も多いと思います。

ただ、それゆえに九九表に強い抵抗感を感じてしまう子もいるとも聞きます。

表(1)、(2)は、どちらも100マスの表ですが、似た表でも柔軟性を持って見る力は小2の時点から大切だと言えそうです。

 

問題3.表(3)の薄青部分は何を示しているでしょう?

まず、ヒント無しで考えてみてください。

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表(3) 薄青部分は何を示しているでしょう?

ヒント 1

全体は1~100までを並べた100マス表ですが、薄青部分は何かのルールで色が付けられています。

ヒント 2

表(1)、(2)の両方と関係があります。

 

 <答えを確認したい方はここをクリック>

 

表のクイズをもう少し、進めます。 

 

問題4.表(4)の薄赤部分は何を示しているでしょう?

 ヒント 表(3)に薄赤部分をつけ足しています。

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表(4) 薄赤部分は何を示しているでしょう?

 答え 表(3)の薄青以外で倍数になっている数を薄赤にしている

 

問題5.では、先の表(4)で背景色のない数の共通点は何でしょう。

ヒント 2,3,5,7は例外として考えてください

答え 素数

 

素数の魅力

前回までの虫食い算と覆面算の記事を書いている途中で、高校時代に遊んだ素数の世界を思い出しました。

 

素数の定義と素数

素数とは、「1とその数自身以外に約数を持たない自然数」、「約数が二つだけの自然数」です。1は1しか約数が無いので素数ではありません。 

100までの数で素数を示したのが、表(5)素数表です。黄色マスの数字が素数

2,3,5,7は修正しています。

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表(5) 100までの素数

高校時代に、素数を確かめる方法を考えたことがありますが、文系の私には大したことが思いつけませんでした。結局、当時の先輩から教えてもらった方法で100までの素数について確かめました。(詳細は後述)

 

100までの素数表を見て、ふと気になったのは、10ごとの横行で、素数が最大で4個(1の行と11の行)、最低で1個(91の行)あることです。数が大きくなるほど、何かの倍数になることは多いですから、確かめていけば素数が0個の横行を見つけられるかも知れません。また、その先にも横行に4個の素数が出ることがあるのかな?そんな疑問を持って、素数の世界にさらに一歩踏み込むことになったのでした。

 

素数クイズ

その前にクイズを少し。○か×かで答えてください。

(1)一の位が0の数字は素数ではない。 

   答え ○、0は自然数ではない。

(2)偶数は素数ではない。 

   答え ×、2だけは素数

(3)横行10個の数字の中に素数が5個以上になることはない。

   答え ○、一の位が偶数の5列と5の列、計6列は素数にならない。

   また1~10の行では2は素数だが、1が素数でないため。

(4)100までの内、素数は25個である。

   答え ○、上の素数表の黄色マスをご確認ください

(5)1000までの内、素数でない数字が10個以上続くことがある。

   答え ? 今は内緒。記事の続きをご覧ください。

 

実は(5)を確かめたくて、1000までの素数表づくりにチャレンジしたのです。

当時は方眼紙を切り貼りして横10、縦100マスの計1000マスの表を複数書きました(最後まで作り上げたかは不明)。今回は表計算ソフトを使って作り上げました。

先述の先輩に教わった素数を見つける手順で作成するのは同じ。もっといい方法がありそうですが、いいのです。あの時見た素数の世界を再体験したかったので。

なお、この記事では1000までの表を載せるとかなり間延びするので、170程までの表しか載せていません。いつか別記事に紹介したいと思っています。

 

では、先輩に教わった手順です。

 

素数表を作る手順1~3

手順1 1は素数でないので消す。(暗いグレー)

手順2 2を除いて、偶数の縦列と12以降の縦列を消す。(暗い青)

手順3 5を除いて、その下の15以降の縦列を消す。(暗い紫)

この3つの手順で、素数ではない1、2の倍数、5の倍数を消すことができました。ここまでは重なるマスも無く、上から下まで真っすぐなので楽ちんです。 

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経過の表(1)1と偶数列を消す         経過の表(2)5の列を消す

経過の表(1)はかなりシンプルで1と2を除けば縞模様。

経過の表(2)も経過の表(1)に5を除いて、5の列をまっすぐ消すだけです。(正しくは10の列も5の倍数ですが、ここでは省略しています。)

 

※以降、手順より前に消した数は暗い青()として統一します。

素数表を作る手順4、5

手順4 3を除き、3の倍数を消す。(黄色)

手順5 7を除き、7の倍数を消す。(薄黄緑)

手順4,5は手作業だったので大変ですが、楽しみながらできます。印をつけると印の並びに規則性があり、芸術的に見えるのが楽しいです。

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経過の表(3) 3の倍数を消す       経過の表(4)7の倍数を消す

経過の表(3)は、3の倍数(3は素数なのでそのまま)のマスに色をつけていきます。黄色マスが左斜め下に1ずつ下がっていく模様が浮かび上がります。また見方を変えると、右斜め下に桂馬跳びしているようにも見えます。さらに奇数の縦列に注目すると、印をつけると2マス空けて1マス消すという流れを繰り返します。この作業で奇数列のほぼ3分の1が埋められるのがわかります。

 

経過の表(4)は、7の倍数(7は素数なのでそのまま)に印をつけていきます。薄黄緑マスが右斜め下に桂馬跳びで下がっていく模様が浮かび上がります。赤枠がこの作業で新しく消されるマスです。経過の表で見えているのは、7×7(49)以降、7×11(77)、7×13(91)、7×19(133)、7×23(161)です。

これは、7と7以上の素数の乗数(掛け算の答え)になっています。

 

出てくるまでは、他との繋がり(倍数や約数)のない素っ気ない数。けれど、出てきた瞬間、次の素数を探す重要な手掛かりになる素敵な数。私の素数のイメージです。

 

より大きな素数を探すには、その手前の小さな素数を集めて手掛かりにするというのは、 何だか人生訓染みています。自分の人生に必要ものに気づくためには、自分の人生を歩む中で手に入れたものが糧になる…みたいな…。え?私の思い過ごしですか?

 

 次回記事に続きます。 

授業22.覆面算「SEND MORE MONEY」

授業中に覆面算

虫食い算の記事を書いている内、高校のある授業を思い出しました。教育実習生の授業で時間が余った際、有名な覆面算「SEND MORE MONEY」を教えてくれたのです。 

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覆面算「SEND MORE MONEY」問題

覆面算は0~9の数字の代わりに文字を使った計算式です。

同じ文字には同じ数字が入るというのが虫食い算には無いルールです。

 

 ぱっと見で、虫食い算よりとっかかりにくそうで、こんな計算できるの?と思いましたが、足し算の筆算のルールに基づいて考えていくと、どの文字に何が入るのかが少しずつ分かってきます。今回は、一緒に解くつもりで記事を書いてみました。

 

 

実は、この覆面算を教えてくれたのは、一年以上前の記事、『授業7.教育実習 八方桂(ナイトツアー)(1)』と同じ人です。  授業は歴史でしたが、何故か余った時間は数学のパズルでした。

今回も、歴史の授業の記憶はありませんが、覆面算は憶えていました。

 

覆面算「SEND MORE MONEY」を解く

※「3.千の位のO(オー)とSを考える」まで、ところどころにぼやけた文字があります。カーソルを当てると鮮明になります。ちょっと立ち止まって考えてみてください。

 

1.最初で最大のヒントはM

一番最初に数字が確定するのはMです。

問題にMは2つありますが、答えの一万の位、赤のMを考えます。

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覆面算「SEND MORE MONEY」 途中解(1)

4桁の数字と4桁の数字を足して5桁の数字になる場合、一万の位は必ずになるからです。 したがって、M=。嬉しいことにMは2回使われているので、一度に2カ所数字が確定します。

 

2.使う数字は8種類

問題に使われている文字を見ると8種類です。つまり0~9の10個の内、使われない数字が2つあるということです。それをすぐに出すことは難しいですが、ひとまず頭の片隅に置いて、次の手がかりを探します。 

 

3.千の位のO(オー)とSを考える

続いての千の位のO(オー)とSを考えます。

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覆面算「SEND MORE MONEY」 途中解(2)

  百の位の計算で、千の位に繰り上がりの1(黄色の○部分)ができるかどうかにかかわらず、それとSと1(元M)を足せば、一万の位が発生するわけです。

ここで、繰り上がりの1を除外して考えると、S+1は9か10です。そこから考えられるSは、です。同時にO(オー)は、0(ゼロ)か1となります。しかし、既にM=1だとわかっているので、O(オー)には1を使えません。したがってO(オー)は0(ゼロ)が確定します。

嬉しいことにO(オー)も2カ所なので、0が二つ埋まりました。

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覆面算「SEND MORE MONEY」 途中解(3)

4.Sの数字を考える

ここで先述の

繰り上がりの1を除外して考えると、S+1は9か10です。そこから考えられるSは、8か9です。

を再考します。二通りの考えができます。

a.黄色〇に繰り上がりの1がある場合

S=8になります。その場合、百の位の計算でE+0で黄色〇に繰り上がりができるのは、十の位で繰り上がりがあった場合にに限られ、必然的にE=9、N=0となります。でも、既にO(オー)=0(ゼロ)は確定しているので矛盾します。論理的にあり得ません。

b.黄色〇に繰り上がりの1がない場合

S=9になります。S=8があり得ないと分かったので、裏付けもあります。

さらに、百の位の計算でE+0で黄色〇に繰り上がりがないことも確定しました。

 

 5.百の位のEとNを考える

 4.までで、途中の解はこうなります。

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覆面算「SEND MORE MONEY」 途中解(4)

 ここで、百の位に注目。0を足しているのに、EがNになる理由は十の位の計算で黄緑〇に繰り上がりが1あったということです。

つまり、E+1=Nという式ができます。

でも、残りの数字を見ると、E+1=Nが成り立つ場合は

(E、N)→(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)(6,7)(7,8)

 の6通りもあって確定は難しそうです。先に別のヒントを探してみましょう。

 

6.先に十の位のRを考える

解が進展していないようでも、黄緑〇に1が入ると確定したのは大きな収穫です。

E+1=Nであることと、十の位の足し算で繰り上がることもはっきりしました。

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覆面算「SEND MORE MONEY」 途中解(5)

緑〇の繰り上がりは不明でも、二つの場合をそれぞれ考えてみます。

c.緑〇に繰り上がり1がない場合

N+R=10+Eということになります。

先述のE+1=Nを活用して、NにE+1を代入した式にしてみます。

N+R=10+E は、 (E+1)+R=10+E となります。

これを整理すると

R=9です。

 

d.緑〇に繰り上がり1がある場合

これは1+N+R=10+Eになるということです。

先述のE+1=Nも活用して、NにE+1を代入した式にしてみます。

1+N+R=10+E は、 1+(E+1)+R=10+E となります。

これを整理すると

R=8 です。

 

c、dから、Rは8か9になりますが、既にS=9が確定しているので、R=8です。また同時に、一の位の計算で繰り上がりがあることもはっきりしました。

 

7.一の位を見る

ここまでで0,1,8,9が明らかになりました。

残りの数字は、2,3,4,5,6,7です。

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覆面算「SEND MORE MONEY」 途中解(6)

D+Eで繰り上がりが生じているので、D+E=10+Yです。

D+E>10となる組み合わせは

(D,E)⇒(7,6)(7,5)(7,4)(6,5)

の4通り。でも、Yがすでに確定している0(=O(オー))や1(=M)になることはありえないので、可能な組み合わせは(7,6)(7,5)のどちらかです。

 

ここで、5.で明らかになったNはEより1大きい数という条件が大事になります。

e.D=7,E=6の場合と、f.D=7,E=5の場合を並べてみます。

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覆面算「SEND MORE MONEY」 途中解(7)
e.D=7,E=6の場合

D=7,E=6の場合、Y=3でうまくいきそうですが、Nも7になってしまい矛盾が生じます。

f.D=7,E=5の場合

D=7,E=5の場合だと、Y=2でうまくいきます。また、Nは6となって、矛盾は生じません。

 

8.解答

 これで、すべての答えが出せました。

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覆面算「SEND MORE MONEY」 答え

各文字に対応させると、

S(9)E(5)N(6)D(7)

M(1)O(0)R(8)Y(2)

 です。

 

おまけ

 おまけでこんなの作ってみました。

 これなら、多分、簡単に解けると思います。

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覆面算「ばんそう かめさん かめそんぐ」問題

縦の列の「ばかめ」がやたら目についてしまいます。

私に言っているような気もしますが、おまけですからこのままにしておきます。

 

tn49.虫食い算の楽しみ方

虫食い算と論理パズル

前回の記事では、LSSさんのアイデアをお借りして虫食い算も出題しました。

掛け算の筆算問題を再掲します。字のぼやけたところにカーソルを持っていけば字が鮮明になる仕組みです。

 

  

×  

----

 1

 

----

 

虫食い算に慣れていない人には難度が高く感じられたようです。数字や虫食いを見て一つ一つの計算が大変だと思い、敬遠してしまう人は少なくありません。

でも、虫食い算は計算の試行錯誤をしなくても理詰めで解けることも多いです。論理パズルに通じる部分があるのは虫食い算の魅力の一つ。それ故に、何故その数字がそこに入るのかと納得できた爽快感は格別です。

今回は論理パズル的な部分に焦点を当ててみます。

 

 

説明しやすいように、筆算を画像にし、虫食いにA~Iまでのアルファベットを配置します。

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虫食い算の問題(画像)

すぐわかる数字はすぐ書き込む

まず、明らかに確定できる数字は先に書き込みます。

答えの一の位が5なので、E=5なのは明らか。

続いて、千の位は繰り上がりでできた数とわかるのでG=1です。

 

予想しやすい数字を見つける 

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虫食い算 解答例(1)

ここでFに注目。有無は不明ながら十の位から繰り上がりと1とFを合計すれば繰り上がっています。このことからFの候補が絞られ、Fは8か9と考えられます。

つまりAB×C=F7は、AB×C=87 か AB×C=97のどちらかです。

でも、97は素数なので掛け算の答えにはなりえません。

したがって、F7=87と確定できます。

私の感覚だと、これにパッと気づける人は、虫食い算中級です。

ああ、なるほど、と全部の虫食いをさらさらっと解けたのではないでしょうか。

 

ヒントは他にも

97が素数だと気づけなくてもヒントはまだあります。

 AB×5で3桁の答えになり、百の位が1になるのは、Aが2か3の場合のみです。

一方でAB×Cでは2桁の答えですから、Cは5より小さい4,3,2,1どれかです。ここで注目したいのがAB×Cの答えの一の位が7であること。実はこれも大きなヒントです。 

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虫食い算 解答例(2)a

 九九の答えで一の位が7

掛け算九九の答えで、一の位が7になるのはどんな場合があるでしょう?

すぐわかる人もいると思いますが、敢えて一つ一つ確かめてみます。

 

答えが7になる九九  1と7で成立します。1×7、7×1。

答えが17になる九九 ありません。素数です。

答えが27になる九九 3と9で成立します。3×9,9×3。

答えが37になる九九 ありません。素数です。

答えが47になる九九 ありません。素数です。

答えが57になる九九 ありません。19×3で成立しますが九九外。

答えが67になる九九 ありません。素数です。

答えが77になる九九 ありません。11と7で成立しますが九九外。

答えが87になる九九 ありません。29と3で成立しますが九九外。

答えが97になる九九 ありません。九九外でしかも素数です。

  

ここまでで答えは出ていますが、気づかないふりして続けます。

 

実は掛け算九九の答えで一の位が奇数になる場合は少ないです。

偶数×偶数=偶数、偶数×奇数=偶数、奇数×偶数=偶数 の3通りに対し

奇数×奇数=奇数 1通りしかありません。

 

言いたかったのはこれ。 

掛け算の答えで一の位が奇数なのは有力な手掛かりです。

 

F7を見て、B×Cが1×7(7×1)か3×9(9×3)のどれかの組み合わせだとすぐ気づけた人は、虫食い算の初心者は卒業と言えそうです。

 

手にした条件を吟味する

青字部分をまとめると答えが導けます。

Aが2か3の場合のみ

Cは5より小さい4,3,2,1どれか

AB×Cの答えの一の位が7

B×Cが1×7(7×1)か3×9(9×3)のどれかの組み合わせ

これらを総合すると、Cは1か3です。

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虫食い算 解答例(2)b

でも、C=1だと、Aが2でも3でも最終の答えで千の位が1にはなりません。

C=3しかありえないのです。

結果、 B=9となります。

そうなると、Aが3の場合、AB×Cの答えが3桁になってしまうので、あり得ません。よってA=2です。

 

虫食い算の楽しみ方

「ヒントは他にも」以降は、かなり強引に理由をつけた感じになりました。「九九の答えで一の位が7」では、答えが見えてないふりをして、説明を続けています。

ここで、言いたかったのは、よりスマート説明ができる答えを見つけるのも、虫食い算の楽しみ方と言うことです。

 

学校で習う計算の特性だけでは、虫食い算に立ち向かうのが難しい場合があります。でも、虫食い算に挑戦している内、自分で法則や特性を見つけられると、一瞬、世紀の大発見をしたのではないか?と大きな感動に包まれることもあります。

 

虫食い算の魅力、少しでも伝わったなら嬉しいです。