カエル跳びゲーム
「カエル跳びゲーム」と呼ばれるパズルがあります。正式名称は知りません。
真ん中は空きのマスにして、両側に二種類のカエル（緑カエルと黄緑カエル）がいます。ルールに従って、緑カエルと黄緑カエルを動かし、二種類のカエルを入れ替えるというもの。
動かし方
１．移動方向は前のみ。戻ることはできません。
２．直前にカエルがいた場合、種類に関係なく跳び越えることができます。
（二匹以上並んでいる場合は、飛び越えられません。）
それぞれの場合に何手で入れ替えることができるでしょう。
１匹ずつの場合
緑カエルからスタートして、２匹のカエルを入れ替えてください。
ヒント
答えは１通り。３手で完成します。
２匹ずつの場合
緑カエルからスタートして、２匹のカエルを入れ替えてください。
ヒント
進め方を失敗すると手詰まりになります。
特に３手目からは慎重にどうぞ。
同じ色を続けて動かす場合もあります。
３匹ずつの場合
緑カエルからスタートして、２匹のカエルを入れ替えてください。
ヒント
脳内で完成させるのは難しいです。
碁石など駒を用意して操作するとわかりやすいです。
４匹ずつ以上の場合
４匹ずつ以上の場合
１匹ずつの場合、３手
２匹ずつの場合、８手
３匹ずつの場合、１５手でした。
では、４匹ずつの場合は何手になるでしょう？
答えは２４手。
さらに５匹ずつの場合は何手になるでしょう？
答えは３５手。
ここまでを表にします。上枠が○匹ずつ、下枠は○手
では、６匹ずつの場合、７匹ずつの場合は何手になるでしょう？
ある法則に気づけば、計算で出すことができます。
さらに、Ｎ匹ずつのカエルを用意した場合に必要な手数を、Ｎを使った式にしてください。
私が見つけた法則は、N匹の場合の手数は、Nに１を足した数の２乗－１になっているということでした。（赤字部分）
これをNを使って式にすると
（Ｎ＋１）^２ー１
となります。さらに、（ ）を展開して
＝N^２＋２N+１ー１
＝N^２＋２N
＝N（N＋２）
となります。
高校時代にこの式を出したものの、何故この式になるのかは不明なままでした。
この式になる理由
今回、下調べをしていてようやく理解できました。
２匹ずつの場合を例にして考えます。
（１）跳び越えが無いルールを仮定
緑カエル２匹が反対側に移動するために、aカエルもbカエルもそれぞれ、２（カエルの数分）＋１マス（空きコマ分）＝３マスずつ 移動することになります。３マス移動を2匹が行うので３×２＝６となり、６手必要です。
これをNを使って表示すると、N＋１の移動がN匹分となるので（N＋１）×N となります。
同様に黄緑カエル２匹の移動も６手必要です。
緑カエルに６手、黄緑カエルに６手で、のべ１２手。
Nを使った式だと（N＋１）×N×２となります。
この式を整理して、２N（N＋１）。
（２）跳び越える場面
次に、跳び越える場面を考えます。
緑カエルと黄緑カエルが出会ったときは、どちらかが跳び越えることになります。
片方にN匹いれば、それぞれが相手のN匹と出会うので、跳び越える回数はN^２です。
２匹の場合は、２＾２＝４ ４回出会う計算です。つまり、４回跳び越えるということになります。
（３）のべ回数と出会う回数の関係
（１）のべ手数２N（N＋１）と（２）跳び越える回数N^２は、全体ののべ数から、跳び越える回数分の手数が減るという関係です。
つまり、２匹ずつの場合、
のべ１２手から、出会いの回数４回を引く計算です。
１２－４＝８
この理屈で考えると、２N（N＋１）ーN^２の式が完成します。
整理すれば
２N（N＋１）－N^２
＝２N^２＋２N－N^２
＝N^２＋２N
＝N（N＋２）
ということになり、高校時代に出した式と一致しました。
移動パズル
実は、先日書いた記事
で移動パズルの記憶が蘇りました。
高校時代blogでも、これまでに幾つか紹介しています。
八方桂は、そのまま移動パズルです。また、
で紹介した「拾いもの（碁石拾い）」も移動パズルになります。
パネルを移動させる１５パズルや、いろいろな四角形を動かして目的のパーツを取り出す脱出パズル、「ハノイの塔」なども含まれるようです。ただし、移動パズルという明確な枠組みは無いようなので、ぼんやりとした呼称かも知れません。
機会があれば、また記事にしたいです。
あと、２６記事。