カエル跳びゲーム
「カエル跳びゲーム」と呼ばれるパズルがあります。正式名称は知りません。
真ん中は空きのマスにして、両側に二種類のカエル(緑カエルと黄緑カエル)がいます。ルールに従って、緑カエルと黄緑カエルを動かし、二種類のカエルを入れ替えるというもの。
動かし方
1.移動方向は前のみ。戻ることはできません。
2.直前にカエルがいた場合、種類に関係なく跳び越えることができます。
(二匹以上並んでいる場合は、飛び越えられません。)
それぞれの場合に何手で入れ替えることができるでしょう。
1匹ずつの場合
緑カエルからスタートして、2匹のカエルを入れ替えてください。
ヒント
答えは1通り。3手で完成します。
2匹ずつの場合
緑カエルからスタートして、2匹のカエルを入れ替えてください。
ヒント
進め方を失敗すると手詰まりになります。
特に3手目からは慎重にどうぞ。
同じ色を続けて動かす場合もあります。
3匹ずつの場合
緑カエルからスタートして、2匹のカエルを入れ替えてください。
ヒント
脳内で完成させるのは難しいです。
碁石など駒を用意して操作するとわかりやすいです。
4匹ずつ以上の場合
4匹ずつ以上の場合
1匹ずつの場合、3手
2匹ずつの場合、8手
3匹ずつの場合、15手でした。
では、4匹ずつの場合は何手になるでしょう?
答えは24手。
さらに5匹ずつの場合は何手になるでしょう?
答えは35手。
ここまでを表にします。上枠が○匹ずつ、下枠は○手
では、6匹ずつの場合、7匹ずつの場合は何手になるでしょう?
ある法則に気づけば、計算で出すことができます。
さらに、N匹ずつのカエルを用意した場合に必要な手数を、Nを使った式にしてください。
私が見つけた法則は、N匹の場合の手数は、Nに1を足した数の2乗-1になっているということでした。(赤字部分)
これをNを使って式にすると
(N+1)^2ー1
となります。さらに、( )を展開して
=N^2+2N+1ー1
=N^2+2N
=N(N+2)
となります。
高校時代にこの式を出したものの、何故この式になるのかは不明なままでした。
この式になる理由
今回、下調べをしていてようやく理解できました。
2匹ずつの場合を例にして考えます。
(1)跳び越えが無いルールを仮定
緑カエル2匹が反対側に移動するために、aカエルもbカエルもそれぞれ、2(カエルの数分)+1マス(空きコマ分)=3マスずつ 移動することになります。3マス移動を2匹が行うので3×2=6となり、6手必要です。
これをNを使って表示すると、N+1の移動がN匹分となるので(N+1)×N となります。
同様に黄緑カエル2匹の移動も6手必要です。
緑カエルに6手、黄緑カエルに6手で、のべ12手。
Nを使った式だと(N+1)×N×2となります。
この式を整理して、2N(N+1)。
(2)跳び越える場面
次に、跳び越える場面を考えます。
緑カエルと黄緑カエルが出会ったときは、どちらかが跳び越えることになります。
片方にN匹いれば、それぞれが相手のN匹と出会うので、跳び越える回数はN^2です。
2匹の場合は、2^2=4 4回出会う計算です。つまり、4回跳び越えるということになります。
(3)のべ回数と出会う回数の関係
(1)のべ手数2N(N+1)と(2)跳び越える回数N^2は、全体ののべ数から、跳び越える回数分の手数が減るという関係です。
つまり、2匹ずつの場合、
のべ12手から、出会いの回数4回を引く計算です。
12-4=8
この理屈で考えると、2N(N+1)ーN^2の式が完成します。
整理すれば
2N(N+1)-N^2
=2N^2+2N-N^2
=N^2+2N
=N(N+2)
ということになり、高校時代に出した式と一致しました。
移動パズル
実は、先日書いた記事
で移動パズルの記憶が蘇りました。
高校時代blogでも、これまでに幾つか紹介しています。
八方桂は、そのまま移動パズルです。また、
で紹介した「拾いもの(碁石拾い)」も移動パズルになります。
パネルを移動させる15パズルや、いろいろな四角形を動かして目的のパーツを取り出す脱出パズル、「ハノイの塔」なども含まれるようです。ただし、移動パズルという明確な枠組みは無いようなので、ぼんやりとした呼称かも知れません。
機会があれば、また記事にしたいです。
あと、26記事。